ポアンカレ群
代数的構造 → 群論 群論 | ||||
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ポアンカレ群（ポアンカレぐん、英語: Poincaré group）とは、ポアンカレ変換の為す変換群。10次元の非コンパクトリー群である。
目次
1 ポアンカレ変換
1.1 座標変換
1.2 生成子
2 ポアンカレ代数
3 関連項目
ポアンカレ変換
ポアンカレ変換とは、ミンコフスキー空間における等長変換である。
等長変換においては内積が保存される。
ポアンカレ変換は並進とローレンツ変換からなる。
座標変換
ミンコフスキー空間の座標 x に対する並進とローレンツ変換は以下のようになる。
- 並進
- xμ→x′μ=xμ+aμ{displaystyle x^{mu }to x'^{mu }=x^{mu }+a^{mu }}
- ローレンツ変換
- xμ→x′μ=Λμνxν{displaystyle x^{mu }to x'^{mu }=Lambda ^{mu }{}_{nu }x^{nu }}
ここで、a, Λ は変換のパラメータである。
生成子
並進の生成子 P は運動量、ローレンツ変換の生成子 M は角運動量である。
ミンコフスキー空間上の関数（スカラー場）φ(x) を考えると
i[Pμ,ϕ(x)]=∂μϕ(x){displaystyle i[P_{mu },phi (x)]=partial _{mu }phi (x)}
![i[P_{mu },phi (x)]=partial _{mu }phi (x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbae0db7214b83ae83d4e4e19ab97bbc72624d04)
i[Mμν,ϕ(x)]=xμ∂νϕ(x)−xν∂μϕ(x){displaystyle i[M_{mu nu },phi (x)]=x_{mu }partial _{nu }phi (x)-x_{nu }partial _{mu }phi (x)}
![i[M_{mu nu },phi (x)]=x_{mu }partial _{nu }phi (x)-x_{nu }partial _{mu }phi (x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1814d17921768247caed8db005a54f9b5fb5a9c1)
となる。
ポアンカレ代数
ポアンカレ代数とはポアンカレ群のリー代数で、次の交換関係をみたす。
[Pμ,Pν]=0{displaystyle [P_{mu },P_{nu }]=0}
![[P_{mu },P_{nu }]=0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/737e9f4f0edf9b8e72332c929615b7b632af6702)
[Mμν,Pρ]=i(ημρPν−ηνρPμ){displaystyle [M_{mu nu },P_{rho }]=i(eta _{mu rho }P_{nu }-eta _{nu rho }P_{mu })}
![[M_{mu nu },P_{rho }]=i(eta _{mu rho }P_{nu }-eta _{nu rho }P_{mu })](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d950480a9d59d8a2d46c1cbfead8825d176701e)
[Mμν,Mρσ]=i(ημρMνσ−ηνρMμσ−ημσMνρ+ηνσMμρ){displaystyle [M_{mu nu },M_{rho sigma }]=i(eta _{mu rho }M_{nu sigma }-eta _{nu rho }M_{mu sigma }-eta _{mu sigma }M_{nu rho }+eta _{nu sigma }M_{mu rho })}
![[M_{mu nu },M_{rho sigma }]=i(eta _{mu rho }M_{nu sigma }-eta _{nu rho }M_{mu sigma }-eta _{mu sigma }M_{nu rho }+eta _{nu sigma }M_{mu rho })](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52a1f48e09b380b777e6b664dc66bb84e58fa5ee)
関連項目
- ネーターの定理
- ポアンカレ対称性の拡張
- 超対称性
- 共形変換
